場合の数・確率の苦手を克服するための考え方と4つの勉強法とは?

サイコロがよくある問題ですね。

どうも、おはこんばんちは、柿Pです!

場合の数とか確率って頻出分野だけどどうしても点数が安定しない…理解はしてると思うんだけど

といった受験生・浪人生・学生のお悩みを解決します。

場合の数や確率は他の分野との関係が薄く、マスターしてしまえば安定的な得点源になります!

いつも通り、基礎の部分から確認していきましょう!

関数と座標に関する解説はこちらから↓

場合の数・確率の意識すべき基礎

場合の数ってそもそも何?

場合の数とは、読んで字の通り

ある条件のもとであり得る状況が何通りあるか?

ということを計算で求めていきます。

一番簡単なパターンから考えていきましょう。

よくある普通の立方体の6面のサイコロを考えましょう。

そのサイコロを振って、出る面は何通りありますか?

このサイコロは当然6面ですから、6通りになりますね。

では、次に二個のサイコロを用意します。

でも今回はもう一つ条件があります。

この二個は赤いサイコロ青いサイコロで、赤の1青の1は別物とします。

赤の目青の目)として座標のようにあり得る状況を考えていきます。
ここからは()内の数字は黒字で表記します。

今回の条件の元では(1、2)と(2、1)はそれぞれ別の状況です。

そして、この条件のもとで何通りの状況があり得るか考えましょう!

全て書き出すと、

(1、1)(1、2)(1、3)(1、4)(1、5)(1、6)
(2、1)(2、2)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(3、1)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(4、1)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(5、1)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(6、1)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6、6)

となり、36通りですね。こうやって書き出しても正解が導けますが、
もっと大きな場合の数になるとしんどいですし、数えミスも起こり得るので、

書き出しではなく、理論と計算で求めよう!というのが数学における場合の数です。

確率とは?

確率は、

(あるきつい条件を満たす場合の数)/(あるゆるい条件を満たす場合の数)

で計算できます。

分母があるゆるい条件となっていますが、条件がないものも多いです。

例えば、普通のサイコロであれば、条件なしだと6通りの目が考えられます。
偶数の目、という条件を言われれば2、4、6の3通りです。

また、分母にも条件がついている確率を条件付き確率と言います。

ここで注意して欲しいのですが、

分子のあるきつい条件は、分母のあるゆるい条件を含んでいないといけない

ということです。

同じようにサイコロで考えましょう。例えば、分母が「偶数の目」、分子が「1の目」
条件であるとします。
問題風にいうと、「サイコロで偶数の目が出たとき、その目が1である条件付き確率」
となります。

もちろん、分子の方が条件としてはきついですよね。
でも、この分子の条件は分母の条件の中に入れないことがわかりますか?

この場合、確率は計算するまでもなく0になります。
つまり、「偶数の目が出てるのに1が出てるなんてありえねぇよ!」ってことです。

当然ですよね。だからこういう問題は出ません!

しかし、分母が「奇数の目」、分子が「1の目」が条件であるとしたらどうでしょう?

分子の方が条件がきついですし、分母の条件の中に入っていますよね。

ですから、これは立派な条件付き確率の問題になります。

分母の条件を満たす場合の数は1、3、5の目が出ることなので、3通り。
分子の条件を満たす場合の数は1の目が出ることなので、1通り。

したがって、この条件付き確率は1/3となります。

場合の数と確率の基礎まとめ

ここまでしっかり読んでいただいた方はなんとなくわかっているかもしれませんが、

場合の数が解けたら確率が解けます!

確率って結局分母と分子で場合の数を求めるだけですからね。

なので、ここからは場合の数に集中して解説していきます。

場合の数を解く上で意識すべきこと

場合の数が苦手な人って

理論的な思考が追いついていないことが多い

と思います。

でも、この思考は反復練習による慣れで身につくので安心してください。

しっかりと問題を解く上での手順とともに思考を解説していきます。

STEP①問題をしっかりと読むこと

まずはここからです。

数学でも他の教科でもそうですが、そもそもちゃんと問題文を読めないといけません。

場合の数の問題では、問題文に条件が書いてあるわけですから、

そこを理解できてしまえば、解けないはずがないですよね!

STEP②状況を把握すること

①でしっかり条件を読んで、理解してください。

このステップでは、その条件を満たす状況を考えていきます。

ここが場合の数を解く上でのキモです。

逆に言えば、ここができなくて、解けない!ということになります。

このステップに入ると、

条件も理解できたし、一気に状況をまとめてやるぜえ!

と考えてしまいがちです。

実際それで解けることもあるのですが、僕はこの解き方をヒラメキと言うのだと思ってます。

これで解けてもたまたまその日の調子が良かっただけ。

ここで、理論的に条件を分析していくのです!

少しずつでいいです、「ここの条件はこういうことだよな、」と一つ一つ分解するように
考えてください。

大切なのは、どれを数えて、どれを数えないかということです。

それも難しい時は、何個か条件に当てはまる状況を書き出してみるということを試しましょう!

全部書き出すのは思考停止ですが、一部書き出してみて、共通点などから逆算して条件を整理する
のは、ある意味テクニックのようなものだと思います。

そして、場合の数はこのステップの練習を重ねればどんどん問題が解けるようになります!

STEP③計算する

例えば関数の問題や図形の問題などは、最後計算と言えば、ややこしいだけで計算ミスにさえ
気をつければ良いのですが、場合の数の計算は少し違います。

場合の数の計算も理論的に意味を理解しておかないといけません。

どうしてこの問題は掛け算で計算するのか?
どうしてこの問題はコンビネーションを使うのか?
どうしてこの問題は階乗で計算するのか?

これを理解するためには、コンビネーションや階乗の意味を理解しておくと良いです。

場合の数が苦手だという人は、参考書や教科書に乗っているコンビネーションの計算なども
その前後の文章の部分を読まずに、計算式だけを見て、

こういう計算方法があるんだなぁ〜。

ぐらいで終わっている人がほとんどだと思います。

計算方法の意味や理論を理解することで、ステップ②でも考える指標になってきます。

そして、正しい計算方法で、ミスなく計算すれば、ゴールです!

場合の数を克服するためにまずできること

勉強の順序としては、

①教科書や参考書に載っている、場合の数の計算方法を理解する
②たくさん問題を読んで、状況を頭の中で整理して分析する
③ある程度の難易度の問題を理論的に解く
④難問に挑戦!

というのがおすすめです。

③までやれば、かなり場合の数の苦手は克服できます。

この記事を閉じたら、すぐに参考書にある計算方法を見直しましょう!

最後に

いかがだったでしょうか。

これからも様々な分野の勉強法やポイントを解説していきますので、是非コメントしてください!

Twitterからも質問やリクエストを募集しています!→(@KakiPisback)

ここまでお読みいただきありがとうございました、ではまた!

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